big time

big time には色々な意味があります。

今回出会ったのは、「非常に」の意味です。

I owe him big time.　

彼にはすごく恩がある。

= I owe him (very much, greately, extremely)　の意味です。

big timeは「成功」という意味もあり、

例文としては、

a big‐time actor　（一流の俳優）

一流になる　hit the big time　

があります。